$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Espace vectoriel engendré

Soit $E$ un espace vectoriel, et $A$ une partie de $E$. On appelle espace vectoriel engendré par $A$ le plus petit sous-espace vectoriel (au sens de l'inclusion) de $E$ qui contient $A$. Il est noté $\textrm{vect}(A)$ (en anglais $\textrm{span}(A)$).

Précisons un peu ce que signifie plus petit au sens de l'inclusion. On dit que $F$ est le plus petit sous-espace vectoriel contenant $A$ au sens de l'inclusion si :

  • $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  • $A$ est inclus dans $F$.
  • Si $G$ est un sous-espace vectoriel contenant $A$, alors $F$ est inclus dans $G$.

L'existence d'un tel sous-espace vient du fait que l'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. En outre, on a la description explicite suivante de $\textrm{vect}(A)$ : $$\textrm{vect}(A)=\{y\in E:\ \exists n\in\mathbb N, \exists x_1,\dots,x_n\in A,\ \exists \lambda_1,\dots,\lambda_n\in \mathbb R, y=\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_n x_n\}.$$