$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Espace vectoriel

Dans la suite, $\mathbb K$ désigne un corps, par exemple $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Définition : Soit $E$ un ensemble muni d'une loi interne notée $+$ et d'une loi externe définie sur un couple $(\lambda ,u)$ de $\mathbb K\times E$, et notée $\lambda \cdot u$. On dit que $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb K$, ou un $\mathbb K$-espace vectoriel, si
  1. $(E,+)$ est un groupe commutatif.
  2. Pour tous $(u,v)$ de $E$, pour tous $(\lambda,\mu)$ de $\mathbb K$, on a :
    1. $\lambda\cdot (\mu\cdot u)=(\lambda \mu)\cdot u$
    2. $1\cdot u=u$
    3. $(\lambda +\mu)\cdot u=\lambda \cdot u+\mu\cdot u$
    4. $\lambda\cdot (u+v)=\lambda\cdot u+\lambda\cdot v$.
Les éléments de $E$ sont alors appelés les vecteurs, ceux de $\mathbb K$ les scalaires.

La notion d'espace vectoriel est l'une des plus importantes des mathématiques, que ce soit en théorie ou pour les applications. Ainsi, $\mathbb R^n$, l'ensemble des polynômes, des fonctions continues, des matrices d'une taille donnée, sont autant d'exemples d'espaces vectoriels!

La structure d'espace vectoriel a émergé au cours du XIXè siècle. C'est d'abord Grassmann qui, vers 1840, introduit la définition d'indépendance linéaire et de dimension. Puis c'est Peano, en 1888, qui formalise complètement la notion.
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