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Formule d'Euler-MacLaurin

Théorème : Soient $m$ et $n$ deux entiers, et $f:[m,n]\to\mathbb C$ une application de classe $\mathcal C^r$. Alors on a $$f(m)+f(m+1)+\dots+f(n)=\int_m^n f(t)dt+\frac12\big(f(m)+f(n)\big)+\sum_{h=2}^r \frac{b_h}{h!}\left(f^{(h-1)}(n)-f^{(h-1)}(m)\right)+R_r $$ avec $$R_r=\frac{(-1)^{r+1}}{r!}\int_m^nB_r(t)f^{( r)}(t)dt.$$ Les $b_n$ sont les nombres de Bernoulli, et les $B_n$ sont les polynômes de Bernoulli, définis sur [0,1] par la récurrence classique, et ensuite prolongés par 1-périodicité.

  Cette formule permet notamment de calculer la valeur de la fonction Zeta aux entiers pairs.

Cette formule a été découverte indépendamment par Euler et MacLaurin vers 1735. Euler l'utilisait pour estimer la somme de séries qui convergent très lentement, MacLaurin pour calculer des intégrales.

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