$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Espace tangent à une sous-variété

Soit $M$ une sous-variété de classe $\mathcal C^1$ de $\mathbb R^n$ de dimension $p$, et $x$ un point de $M$. On dit qu'un vecteur $v\in\mathbb R^n$ est tangent à $M$ en $x$ s'il existe $\delta>0$ et $\gamma:]-\delta,\delta[\to \mathbb R^n$ une courbe de classe $\mathcal C^1$, tracée sur $M$ (i.e. $\gamma(]-\delta,\delta[)\subset M$) et telle que $\gamma(0)=x$, $\gamma'(0)=v$.

On démontre que l'ensemble des vecteurs tangents à $x$ en $M$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$ de dimension $p$, appelé espace tangent à $M$ en $x$, et noté $T_x M$.

Suivant la façon dont est définie la sous-variété, on peut donner la valeur de $T_x M$ :

  • définition implicite : si $U$ est un voisinage de $x$ dans $\mathbb R^n$ et $f:U\to\mathbb R^{n-p}$ une $\mathcal C^k$-submersion en $x$ tels que $M\cap U=f^{-1}(\{0\})$, alors $T_x M=\ker (df_x)$.
  • définition par paramétrage : si $U$ est un voisinage de $x$ dans $\mathbb R^n$ et $V$ est un voisinage de $0$ dans $\mathbb R^p$, $f:V\to\mathbb R^n$ une $\mathcal C^k$-immersion en $0$ envoyant $0$ sur $x$ tels que $f_{|V}$ est un homéomorphisme de $V$ sur $U\cap M$, alors $T_x M=\textrm{Im}(df_0)$.
  • définition par redressement : si $U$ et $V$ sont des voisinages respectifs de $x$ dans $\mathbb R^n$ et de $0$ dans $\mathbb R^n$, si $f:U\to V$ un $\mathcal C^k$-difféomorphisme envoyant $x$ sur $0$ et tel que $f(U\cap M)=V\cap (\mathbb R^p\times \{0\})$, alors $T_x M=(df_x)^{-1}(\mathbb R^p\times\{0\})$.
Consulter aussi...