L'escargot de Pythagore

L'escargot de Pythagore est une figure qui permet de construire géométriquement les racines carrées des entiers naturels. On part d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont de longueur $1$ (le petit triangle en bleu sur la figure ci-dessous). Par application du théorème de Pythagore, son hypoténuse a pour longueur $\sqrt 2.$

Puis, à partir de l'hypoténuse de ce triangle, on construit un nouveau triangle rectangle : l'hypoténuse du premier triangle forme un des côtés de l'angle droit du nouveau triangle, l'autre côté de l'angle droit est à nouveau de longueur $1.$ L'hypoténuse de ce second triangle rectangle a pour longueur $L$ tel que $L^2=2+1=3.$ On a donc $L=\sqrt 3.$

On peut alors réitérer la construction, en construisant à chaque fois un nouveau triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est l'hypoténuse du triangle rectangle précédent, l'autre côté de l'angle droit ayant pour longueur 1. Les longueurs des hypoténuses des triangles rectangles ainsi obtenus sont successivement les racines carrées des entiers naturels.