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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Equations différentielles >

Introduction aux équations différentielles


  Une équation différentielle est une équation du type y'=f(t,y) où f est une fonction (continue) sur un ouvert U de R2 (U est appelé le domaine de l'équation différentielle). Une solution de cette équation différentielle est une fonction y, définie et dérivable sur un intervalle ouvert I, et telle que, pour tout t de I, (t,y(t)) est dans U, et y'(t)=f(t,y(t)).

  Une équation différentielle de la forme précédente s'appelle une équation différentielle du premier ordre. On recontre aussi souvent des équations du deuxième ordre, du type y''=f(t,y,y'). Plus généralement, une équation différentielle d'ordre m est une équation du type y(m)=f(t,y',...,y(m-1)).

Ex : Circuit RLC. On considère la charge d'un condensateur à travers une résistance et une inductance. U est un générateur qui impose, au cours du temps, une tension (constante ou sinusoïdale).
On note q la charge du condensateur, et i le courant dans le circuit. Rappelons que i=dq/dt=q'(t). La loi d'Ohm appliquée au circuit permet d'écrire :

U=q/c+Rq'+Lq''.

 On obtient une équation différentielle du second ordre.

  Il y a en général plusieurs solutions à une équation différentielle. Pour espérer caractériser une solution, il faut ajouter une condition initiale qui décrit le système à un instant initial.

Définition : Soit f de U dans R, et (t0,y0) un point de U. On appelle problème de Cauchy en (t0,y0) la recherche d'une solution à l'équation différentielle, sous l'hypothèse supplémentaire y(t0)=y0.

Lorsqu'on a une équation différentielle du second ordre, le problème de Cauchy correspond à la recherche d'une solution avec y(t0)y0, y'(t0)=y1, et ainsi de suite si l'ordre est n.

  Une solution d'une équation différentielle est maximale si elle n'est la restriction d'aucune autre solution. Sous ces hypothèses, on a le théorème d'existence et d'unicité des solutions suivant :

Théorème (Cauchy-Lipschitz) : Soit l'équation différentielle y'=f(t,y), avec f de classe C1 définie sur un ouvert U de R2. Si (t0,y0)est un point de U, il existe une unique solution maximale au problème de Cauchy y'=f(t,y), et y(t0)=y0. En outre, toute autre solution à ce même problème de Cauchy est restriction de la solution maximale.

Ce théorème illustre le déterminisme en physique classique. Si un système suit une loi d'évolution donnée, les mêmes causes (i.e. le même problème de Cauchy) produisent les mêmes effets.
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