Introduction aux équations différentielles
Une équation différentielle est une équation du type y'=f(t,y) où f est une fonction
(continue) sur un ouvert U de R2 (U est appelé le domaine de l'équation différentielle).
Une solution de cette équation différentielle est une fonction y, définie et dérivable sur un intervalle ouvert I, et telle que, pour tout t de I, (t,y(t)) est dans U, et y'(t)=f(t,y(t)).
Une équation différentielle de la forme précédente s'appelle une équation différentielle du premier ordre. On recontre aussi souvent des équations du deuxième ordre, du type y''=f(t,y,y'). Plus généralement, une équation différentielle d'ordre m est une équation du type y(m)=f(t,y',...,y(m-1)).
Ex : Circuit RLC. On considère la charge d'un condensateur à travers une résistance et une inductance. U est un générateur qui impose, au cours du temps, une tension (constante ou sinusoïdale).
On note q la charge du condensateur, et i le courant dans le circuit. Rappelons que i=dq/dt=q'(t). La loi d'Ohm appliquée au circuit permet d'écrire :
U=q/c+Rq'+Lq''.
On obtient une équation différentielle du second ordre.
Il y a en général plusieurs solutions à une équation différentielle. Pour espérer caractériser une solution, il faut ajouter une condition initiale qui décrit le système à un instant initial.
Définition : Soit f de U dans R, et (t0,y0) un point de U. On appelle
problème de Cauchy en (t0,y0) la recherche d'une solution à l'équation différentielle, sous l'hypothèse supplémentaire y(t0)=y0.
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Lorsqu'on a une équation différentielle du second ordre, le problème de Cauchy correspond à la recherche d'une solution avec y(t0)y0, y'(t0)=y1, et ainsi de suite si l'ordre est n.
Une solution d'une équation différentielle est maximale si elle n'est la restriction d'aucune autre solution. Sous ces hypothèses, on a le théorème d'existence et d'unicité des solutions suivant :
Théorème (Cauchy-Lipschitz) : Soit l'équation différentielle y'=f(t,y), avec f de classe C1 définie sur un ouvert U
de R2. Si (t0,y0)est un point de U, il existe une unique solution maximale au problème de Cauchy y'=f(t,y), et y(t0)=y0. En outre, toute autre solution à ce même problème de Cauchy est restriction de la solution maximale.
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Ce théorème illustre le déterminisme en physique classique. Si un système suit une loi d'évolution donnée, les mêmes causes (i.e. le même problème de Cauchy) produisent les mêmes effets.
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