Matrice et système échelonnés
Soit $m,n$ deux entiers et $M=(a_{i,j})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ une matrice de taille $m\times n$. On dit que $M$ est une matrice échelonnée s'il existe un entier $k\in\{1,\dots,m\}$ et une suite croissante $1\leq j_1<j_2<\cdots <j_k\leq n$ tels que
- $\forall i\in\{1,\dots,k\}$, $a_{i,j_i}\neq 0$;
- $\forall i\in \{1,\dots,k\}$, $\forall j\in \{1,\dots,j_i-1\}$, $a_{i,j}=0$;
- $\forall i\in\{k+1,\dots,m\}$, $\forall j\in\{1,\dots,n\}$, $a_{i,j}=0$.
Autrement dit, les lignes nulles sont regroupées au bas de la matrice (lignes $k+ 1$ à $m$), les autres lignes sont classées suivant la position de leur premier élément non nul, ces positions étant deux à deux distinctes. Une matrice échelonnée admet donc la représentation suivante : $$\left( \begin{array}{ccccccccccc} 0&\dots&0&a_{1,j_1}&\star&\dots&&&&\dots&\star\\ 0&\dots&&\dots&0&a_{2,j_2}&\star&\dots&&&\star\\ \vdots&&&&&&&&&&\vdots\\ 0&&\dots&\dots&&&0&a_{k,j_k}&\star&\dots&\star\\ 0&&&\dots&&&\dots&&&&0\\ \vdots&&&&&&&&&&\vdots\\ 0&&&\dots&&&\dots&&&&0 \end{array} \right),$$ les coefficients étoilés $\star$ étant quelconques.
De la même façon, un système linéaire $AX=B$ est dit échelonné si $A$ est une matrice échelonnée. Après renumérotation des inconnues, un système échelonné s'écrit donc : $$\left\{ \begin{array}{cccccccccccccccc} p_1x_1&+&*x_2&+&\cdots&+&*x_r&+&*x_{r+1}&+&\cdots&+&*x_n&=&c_1\\ 0&+&p_2 x_2&+&\cdots&+&*x_r&+&*x_{r+1}&+&\cdots&+&*x_n&=&c_2\\ &&&&\ddots&&&&&&&&\vdots&\vdots&\vdots\\ &&&&&&p_rx_r&+&*x_{r+1}&+&\cdots&+&*x_n&=&c_r\\ &&&&&&&&&&&&0&=&c_{r+1}\\ &&&&&&&&&&&&\vdots&\vdots&\vdots\\ &&&&&&&&&&&&0&\vdots&c_n\\ \end{array} \right.,$$
où les coefficients sur la diagonale $p_1,\dots,p_r$ sont non nuls.Les $n-r$ dernières équations sont alors appelées les conditions de compatibilité du système. Le système admet une solution si et seulement si ces conditions sont remplies, c'est-à-dire si et seulement si $c_1=\cdots=c_r=0.$ On dit alors que le système est compatible. Les inconnues $x_1,\dots,x_r$ sont alors appelées inconnues principales tandis que $x_{r+1},\dots,x_n$ sont appelées inconnues auxiliaires. Dans le cas où le système est compatible, on le résout de la façon suivante. Les inconnues auxiliaires peuvent prendre n'importe quelle valeur. On détermine ensuite la valeur des inconnues principales en fonction de ces inconnues secondaires par substitution, en procédant de bas en haut. Le système admet une unique solution s'il n'existe pas d'inconnues auxiliaires, et une infinité de solutions dans le cas contraire.
On transforme souvent un système linéaire en un système échelonné équivalent à l'aide de la méthode de l'algorithme du pivot de Gauss.