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Bibm@th

Une petite introduction aux distributions...

Les distributions sont un concept mathématique, généralisant la notion de fonctions, inventé par Laurent Schwartz en 1945. Nous allons essayer d'expliquer pourquoi les fonctions sont insuffisantes, et ce qu'est une distribution....

Généralement, les phénomènes physiques sont représentés par des fonctions de plusieurs variables. Pourtant, cette représentation qui à chaque point associe une valeur a ses limites :

  • la température en un point n'a pas de sens, même si les équations de propagation de la chaleur donnent de bons résultats à l'échelle macroscopique.
  • la valeur ponctuelle d'une fonction n'est jamais accessible à l'aide d'appareils de mesure. Pour obtenir $f(x_0)$ on mesure en réalité une moyenne $\int f(x)g(x)dx,$ où $g$ est à support compact, proche de $x_0,$ et a une intégrale proche de $1.$

Donc, quand on a une fonction $f,$ il peut paraître assez naturel de considérer comme importantes les quantités correspondant aux diverses moyennes de $f,$ c'est à dire les quantités $\int f(x)g(x)dx,$ où $g$ parcourt l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables à support compact.

Mais alors, le concept même de fonctions apparaît comme insuffisant... En effet, si $(f_n)$ est une suite de fonctions positives, d'intégrales égales à $1,$ et dont le support est inclus dans des boules de plus en plus petites autour du point $0,$ et si $g$ est continue en $0,$ alors on a : $$\lim_{n\to+\infty}\int f_n(x)g(x)dx=g(0).$$ Pourtant, il n'existe pas de fonction telle que, pour tout $g$ indéfiniment dérivable à support compact, on ait $\int f(x)g(x)dx=g(0).$ On va définir la distribution de Dirac en $0$, notée $\delta_0$, par $\delta_0(g)=g(0).$

Plus formellement, si $U$ est un ouvert de $\mathbb R^n$, on appele distribution dans l'ouvert $U$ une forme linéaire $u$ définie sur l'espace de fonctions $\mathcal C^\infty_c(U)$ vérifiant la condition de continuité suivante : pour tout compact $K$ de $U,$ il existe $p\in\mathbb N$ et $C>0$ tels que, pour tout $g\in \mathcal C^\infty_c(U)$ à support dans $K,$ $$|u(g)|\leq C\sup_{x\in K,\ |\alpha|\leq p}|\partial^\alpha g(x)|,\textrm{ avec }\partial^\alpha g=\frac{\partial^{|\alpha|}g}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}}.$$ Par exemple, les fonctions localement intégrables, et les masses de Dirac, fournissent de bons exemples de distributions.

Cette petite introduction doit beaucoup au livre de Jean-Michel Bony Théorie des distributions et analyse de Fourier.

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