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Sous-groupe distingué et groupe quotient

Définition :
  • Un sous-groupe $H$ d'un groupe $G$ est distingué ou normal si, pour tout $g$ de $G$ et tout $h$ de $H$, l'élément $ghg^{-1}$ appartient à $H$.
  • Un groupe est simple si ses seuls sous-groupes distingués sont $\{1\}$ et $G$.
Exemple :
  • $\{1\}$, $G$, le centre du groupe sont des sous-groupes distingués.
  • Le noyau d'un morphisme de groupe est un sous-groupe distingué.
  • $\mathbb Z/p\mathbb Z$ est simple si $p$ est premier.
  • Pour $n\geq 5$, le groupe alterné $A_n$ est simple.

Les sous-groupes distingués sont particulièrement importants, car ils permettent de définir les groupes quotient $G/H$. Si $H$ est un sous-groupe de $G$, on définit une relation d'équivalence sur $G$ par $x\mathcal R y$ si, et seulement si, $xy^{-1}\in H$. On note $G/H$ l'ensemble des classes d'équivalence. On cherche à munir $G/H$ d'une structure de groupe héritée de celle de G, c'est-à-dire en posant : $$\bar x\times \bar y=\overline{x\times y}.$$ Ceci définit une structure de groupe sur $G/H$ si, et seulement si, $H$ est distingué. On dit alors que $G/H$ est le groupe quotient de $G$ par $H$.

L'intérêt des sous-groupes distingués est de permettre le "dévissage" des groupes. On peut essayer de ramener l'étude de G à celle de H et de G/H, qui sont plus petits. Ceci explique aussi l'intérêt porté aux groupes simples finis qui, eux, sont indévissables. Leur classification a été achevée en 1981.
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