$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Distance

Distance de deux points

On considère un ensemble $E$. On appelle distance sur E une application $d:E\to\mathbb R_+$ vérifiant les 3 propriétés suivantes :

  1. $d(x,y)=d(y,x)$, quels que soient $x$ et $y$ de $E$ (on dit que la distance est symétrique).
  2. $d(x,y)=0$ si et seulement si $x=y$
  3. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$, quels que soient $x$, $y$ et $z$ de $E$ (c'est l'inégalité triangulaire).

$(E,d)$ s'appelle alors un espace métrique.

Exemples :

  • Sur $\mathbb R$, l'application qui à deux nombres $x$ et $y$ associe la valeur absolue de leur différence $|x-y|$ est une distance.
  • Sur $\mathbb R^2$, nous allons définir 3 distances que l'on utilise de façon usuelle. Nous noterons $M_1=(x_1,y_1)$ et $M_2=(x_2,y_2)$.
    1. La distance dite de la norme 1, définie par : $$d_1(M_1,M_2)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$$ C'est en quelque sorte la généralisation la plus immédiate de la valeur absolue sur $\mathbb R$.
    2. La distance euclidienne : $$d_2(M_1,M_2)=\sqrt{|x_1-x_2|^2+|y_1-y_2|^2}.$$ C'est la distance usuelle que l'on utilise dans le plan.
    3. La distance dite de la norme sup : $$d_3(M_1,M_2)=\sup (|x_1-x_2|,|y_1-y_2|).$$

Pour une interprétation géométrique de ces distances, on pourra se reporter à l'article sur la sphère. Les distances définies ci-dessus sont assez particulières, au sens qu'elles sont définies sur des espaces vectoriels et proviennent en fait de normes. En voici une qui n'est pas ainsi : sur $\mathbb R$, on définit $d(x,y)=\arctan|x-y|$. On vérifie sans problème les 3 axiomes, mais l'intérêt de cette distance vient du fait qu'on peut continuer à la définir, moyennant un passage à la limite, sur $\mathbb R$ muni des 2 points moins l'infini et plus l'infini. Ceci permet de définir de façon métrique la topologie de la droite réelle achevée.

Distance d'un point à un ensemble - Distance de deux ensembles

Soit $(E,d)$ un espace métrique. Si $x$ est un point de $E$, et $A$ est une partie de $E$, alors la distance de $x$ à $A$ est la borne inférieure des distances de $x$ à $y$ lorsque $y$ appartient à $A$ : $$d(x,A)=\inf\{d(x,y);\ y\in A\}.$$

Exemple : Si $A=[0,1[$, et $x=2$, $d(x,A)=1$.

On peut avoir $d(x,A)=0$ sans que $x$ ne soit élément de $A$. C'est par exemple le cas si $E=\mathbb R$, muni de la distance donnée par la valeur absolue, si $x=1$, et si $A=[0,1[$. En fait, on a l'équivalence : $d(x,A)=0$ si et seulement si $x$ appartient à l'adhérence de $A$.

Si maintenant $A$ et $B$ sont deux parties de E, la distance de $A$ à $B$ est la borne inférieure des distances de $x$ à $y$, où $x$ décrit $A$, et $y$ décrit $B$.

Exemple : Pour $A=[0,1[$ et $B=[2,9]$, et $d$ la distance associée à la valeur absolue, $d(A,B)=1$.
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