Raisonnement par disjonction de cas
Le raisonnement par disjonction de cas s'utilise quand on veut démontrer une propriété $P$ dépendant d'un paramètre $x$ appartenant à un ensemble $E$, et que la justification dépend de la valeur de $x$. On écrit alors $E=E_1\cup\dots\cup E_n$, et on sépare les raisonnements suivant que $x\in E_1$, $x\in E_2,\dots$. On emploie fréquemment ce raisonnement pour résoudre des (in)équations avec des valeurs absolues (le raisonnement dépend du signe de la quantité à l'intérieur de la valeur absolue), démontrer des propriétés en arithmétique (on sépare le raisonnement suivant la parité de certains entiers, leur congruence modulo $n$...).
Exemple : Démontrer que pour tout entier $n$, $\frac{n(n+1)}2$ est un entier.
On sépare deux cas :
- si $n$ est pair, alors $n$ s'écrit $n=2k$ et $n+1=(2k+1)$. On a alors $$\frac{n(n+1)}{2}=k(2k+1)$$ qui est bien un entier.
- si $n$ est impair, alors $n$ s'écrit $n=2k+1$ et $n+1=2k+2$. On a alors $$\frac{n(n+1)}2=(2k+1)(k+1)$$ qui est lui aussi bien un entier.
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