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Dimension métrique

Soit $E$ une partie précompacte non vide d'un espace métrique $(X,d).$ Pour tout $\varepsilon$ positif, $E$ peut être recouvert par un nombre fini de boules de rayon $\varepsilon$. Notons $N_E(\varepsilon)$ le plus petit nombre de telles boules nécessaires pour recouvrir $E.$

L'entier $N_E(\veps)$ donne une idée de la taille de E à l'échelle $\varepsilon$. D'autre part, si $E$ est le segment $[0,1],$ on a $N_E(\varepsilon)\sim \frac1{\varepsilon}$ et si $E$ est le carré $[0,1]^2,$ on a $N_E(\varepsilon)\sim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon^2}.$ Ceci motive la définition suivante :

Définition : On appelle dimension métrique de $E$, ou dimension de boîte, la limite, quand elle existe, de $\displaystyle \frac{\ln(N_E(\varepsilon))}{\ln(1/\varepsilon)}.$

Exemples :

  • Si $E$ est la boule unité de $\mathbb R^n$ pour une certaine norme, alors la dimension métrique de E vaut $n.$ Dans ce cas, on a égalité entre dimension métrique de la boule unité et dimension algébrique de l'espace vectoriel environnant.
  • Si $E$ est l'ensemble (triadique) de Cantor, sa dimension métrique vaut $-\ln(2)/\ln(3).$ En particulier, ce n'est pas un entier!

La dimension métrique n'est pas toujours défini. On peut en revanche toujours définir la dimension métrique supérieure, par $$\limsup_{\varepsilon\to 0}\frac{\ln(N_E(\varepsilon))}{\ln(1/\varepsilon)}$$ et la dimension métrique inférieure, par $$\liminf_{\varepsilon\to 0}\frac{\ln(N_E(\varepsilon))}{\ln(1/\varepsilon)}$$

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