$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Endomorphisme (ou matrice) diagonalisable

La théorie

Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme $u$ de $E$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$. Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

On a le théorème important suivant concernant les endomorphismes diagonalisables.

Théorème : Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $u$ est diagonalisable.
  • $E$ est somme directe des sous-espaces propres de $u$.
  • La dimension de $E$ est la somme des dimensions des sous-espaces propres de $u$.
  • Le polynôme caractéristique $C_u$ de $u$ est scindé sur $K$ et si $a$ est une racine de $C_u$, alors sa multiplicité en tant que racine de $C_u$ vaut la dimension du sous-espace propre correspondant.
  • Il existe $P\in K[X]$ non nul scindé à racines simples tel que $P(u)=0$.
  • Le polynôme minimal de $u$ est scindé à racines simples.
La pratique

Soit $A$ une matrice que l'on cherche à diagonaliser. On procède en plusieurs étapes.

  • On calcule le polynôme caractéristique de $A$, $C_A(X)=\det(XI_n-A)$.
  • On factorise ce polynôme afin trouver les valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_p$.
  • Pour chaque valeur propre $\lambda_i$, on trouve une base du sous-espace propre correspondant en résolvant l'équation $AX=\lambda_i X.$
  • Si pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre comme racine de $C_A$, alors la matrice est diagonalisable, et une base de vecteurs propres est donnée en prenant la réunion des bases trouvées pour chaque sous-espace propre.
Topologie de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ et $\mathcal M_n(\mathbb C)$ et matrices diagonalisables

Pour $n\geq 2$ et $K=\mathbb R$ ou $\mathbb C,$ on note $D_n(K)$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal M_n(K)$ et $D_n'(K)$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal M_n(K)$ ayant des valeurs propres distinctes.

Théorème :
  • $D_n'(\mathbb C)$ est un ouvert de $\mathcal M_n(\mathbb C).$
  • L'intérieur de $D_n(\mathbb C)$ est $D_n'(\mathbb C).$
  • $D_n(\mathbb C)$ et $D_n'(\mathbb C)$ sont denses dans $\mathcal M_n(\mathbb C).$
  • $D_n(\mathbb R)$ est un connexe par arc de $\mathcal M_n(\mathbb R)$, et $D_n(\mathbb C)$ est un connexe par arcs de $\mathcal M_n(\mathbb C).$

En revanche, $D_n(\mathbb R)$ n'est pas dense dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$.

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