Diagonale dominante
Une matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ est à diagonale dominante si pour tout $i=1,\dots,n,$ $$|a_{i,i}|\geq |a_{i,1}|+\cdots+|a_{i,i-1}|+|a_{i,i+1}|+\dots+|a_{i,n}|,$$ autrement dit si le module de chaque coefficient diagonal est plus grand ou égal à la somme des modules des autres coefficients de sa ligne. Elle est dite à diagonale strictement dominante si ces inégalités sont strictes, c'est-à-dire si pour tout $i=1,\dots,n,$ $$|a_{i,i}|> |a_{i,1}|+\cdots+|a_{i,i-1}|+|a_{i,i+1}|+\dots+|a_{i,n}|.$$
Théorème (lemme d'Hadamard) :
Une matrice de $\mathcal M_n(\mathbb C)$ à diagonale strictement dominante est inversible.
La méthode la plus facile pour prouver l'inversibilité d'une telle matrice est de démontrer que son noyau est réduit à $\{0\}.$
Corollaire :
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ une matrice hermitienne. Alors :
- Si $A$ est à diagonale dominante alors, elle est positive si et seulement si ses coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls.
- Si $A$ est à diagonale strictement dominante alors, elle est définie positive si et seulement si ses coefficients diagonaux sont des réels strictement positifs.
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