Introduction au déterminant
On considère un plan muni d'un repère orthonormé d'origine $O,$ et deux point $A$ et $B$ de coordonnées $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2).$ Que vaut l'aire du parallélogramme construit sur $OAB,$ c'est-à-dire du parallélogramme $OACB$ où $C$ est tel que $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}?$
Le petit découpage réalisé sur la figure précédente prouve qu'elle vaut $x_1y_2-y_1x_2.$ On appelle ce nombre le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ et on le note : $$\left|\begin{array}{cc} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{array}\right|.$$ Le déterminant peut donc s'interpréter comme une aire signée. Il permet aussi de déterminer quand deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires : cela se produit si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Dans l'espace à 3 dimensions, quel est le volume du parallélépipède construit sur les points $O,$ $A(x_1,y_1,z_1),$ $B(x_2,y_2,z_2)$ et $C(x_3,y_3,z_3)?$ Lagrange a calculé ce volume et a trouvé, au signe près : $$V=x_1y_2z_3+y_1z_2x_3+z_1x_2y_3-y_1x_2z_3-x_1z_2y_3-z_1y_2x_3.$$ Ce nombre est un déterminant d'ordre 3, et se note : $$\left|\begin{array}{ccc} x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ z_1&z_2&z_3 \end{array}\right|.$$ Le déterminant d'ordre 3 peut s'interpréter comme un volume signé; il permet aussi de déterminer quand 3 vecteurs de l'espace sont coplanaires : cela se produit si et seulement si leur déterminant est nul.
On peut calculer un déterminant d'ordre 3 par la formule précédente, mais le plus souvent on utilise un développement suivant une ligne ou une colonne : pour cela, on attribue à chaque coefficient un signe + ou - suivant le tableau suivant : $$\left|\begin{array}{ccc} +&-&+\\ -&+&-\\ +&-&+ \end{array}\right|$$ c'est-à-dire que l'on met un $+$ en haut à gauche, et que l'on alterne les $+$ et les $-$ sur chaque ligne et chaque colonne. Puis on choisit une ligne ou une colonne que l'on parcourt selon le schéma suivant (ici pour la deuxième ligne) :
Il y a de nombreuses façons de définir un déterminant d'une matrice carrée $A=(a_{i,j})$ d'ordre $n$. On peut le définir à partir des formes $n$-linéaires alternées (on renvoie à l'article correspondant). On peut aussi utiliser la formule suivante : $$\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\textrm{sgn}(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\times\cdots\times a_{n,\sigma(n)}$$ où $S_n$ désigne l'ensemble des permutations de $\{1,\dots,n\}$ et $\textrm{sgn}(\sigma)$ est la signature de la permutation $\sigma.$ Mais le plus simple est peut-être encore de le définir par récurrence sur $n$, en utilisant le développement par rapport à une ligne ou une colonne (comme pour l'ordre 3). Les principales propriétés vérifiées par le déterminant sont :
- une matrice est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul. C'est une propriété importante car elle permet de savoir à l'avance si un système linéaire d'équations admet une, et une seule, solution.
- Le déterminant d'un produit de deux matrices est égal au produit des déterminants.
- un déterminant est invariant en échangeant le rôle des lignes et des colonnes, il change de signe si on permute 2 colonnes, il est nul si une colonne est combinaison linéaire des autres.
- on ne change pas un déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres.
- le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure vaut le produit des éléments sur la diagonale. Ces deux dernières propriétés permettent notamment de calculer le déterminant par la méthode du pivot de Gauss.
Si $E$ est un espace vectoriel de dimension $n$, si $\mathcal B$ est une base de $E$, et si $(u_1,\dots,u_n)$ est une famille de $n$ vecteurs de $E$. Alors le déterminant de $(u_1,\dots,u_n)$ dans la base $\mathcal B$, noté $\det_{\mathcal B}(u_1,\dots,u_n),$ est le déterminant de la matrice des vecteurs $(u_1,\dots,u_n)$ dans la base $\mathcal B.$
Sous les hypothèses précédentes, la famille $(u_1,\dots,u_n)$ est une base de $E$ si et seulement si $\det_{\mathcal B}(u_1,\dots,u_n)\neq 0.$
Le déterminant d'un endomorphisme vérifie les propriétés suivantes :
- Si $f,g\in\mathcal L(E)$, on a $\det(f\circ g)=\det(f)\det(g)$.
- $f\in\mathcal L(E)$ est un automorphisme si et seulement si $\det(f)\neq 0$. Dans ce cas, $\det(f^{-1})=\big(\det(f)\big)^{-1}$.
Historiquement, les déterminants sont apparus avant les matrices. Ils étaient associés à un système linéaire pour "déterminer" si ce sytème admet une unique solution. C'est Cardan qui a considéré le premier les déterminants 2×2 à la fin du XVIè s., puis Leibniz a étudié un siècle plus tard les déterminants d'ordre supérieur. On doit à Lewis Carroll (l'auteur d'Alice aux pays des merveilles) le premier ouvrage didactique sur les déterminants.