Décomposition en éléments simples
La décomposition en éléments simples est une manière d'écrire une fraction rationnelle qui permet notamment de calculer aisément des primitives de fractions rationnelles.La théorie
Théorème : Soit $F$ appartenant à $\mathbb K(X)$ une fraction rationnelle non nulle. Soit $F=N/D$ un représentant irréductible
de $F$ et soit
la décomposition de $D$ en facteurs irréductibles de $\mathbb K[X]$.
Alors on peut écrire de manière unique

où $E$, $A_{i,j}$ sont des polynômes et $\deg(A_{i,j})<\deg(D_i)$. $E$ s'appelle
partie entière de $F$.


En général, le corps $\mathbb K$ est $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Sur $\mathbb C$, tous les polynômes sont scindés et $D$ se factorise en



La pratique
- La partie entière s'obtient comme quotient de la division euclidienne de $N$ par $D$.
- Pour un pôle simple de $F$, ie si $F$ s'écrit
où $D_1(a)$ n'est pas nul, la décomposition en éléments simples de $F$ fait apparaitre un terme du type
.
s'obtient par les formules
- Pour un pôle multiple de $F$, ie si $F$ s'écrit
où $D_1(a)$ n'est pas nul, la décomposition en éléments simples de $F$ relative au pôle $a$ s'écrit
On pose $B(X)=N(X+a)$ et $R(X)=Q(X+a)$. Alors $P(X)=a_{0}+a_{1}X+...+a_{m-1}X^{m-1}$ est le quotient dans la division suivant les puissances croissantes à l'ordre $m-1$ de $B$ par $R$. - La division suivant les puissances croissantes n'étant plus tellement enseignée, on peut aussi déterminer les coefficients $a_0,\dots,a_{m-1}$ successivement. On a en effet $$a_{m-1}=\frac{N(a)}{D_1(a)}.$$ On pose ensuite $$F_1=F-\frac{a_{m-1}}{(X-a)^m}$$ dont $a$ est un pôle de multiplicité au plus $m-1$. On peut alors par la même méthode calculer $a_{m-2}$, et ainsi de suite...
- Pour un facteur de seconde espèce $X^{2}+pX+q$, on peut réaliser la décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ et regrouper les termes, ou bien procéder par identification.
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