Théorèmes de convergence pour l'intégrale de Lebesgue
Nous donnons des énoncés pour un espace mesuré (X,B,m). Pour des énoncés moins généraux, on pourra penser X=R ou X=intervalle de R, et on pourra enlever les conditions de "presque partout".
Convergence monotone
Théorème : Soit (fn) une suite de fonctions mesurables sur X, telle que :
Convergence dominée- 0<=f1(x)<=f2(x)<=...<=fn(x)
- fn(x)->f(x) pour presque tout x.

Théorème : Soit fn:X->C une suite de fonctions mesurables telle que :

En particulier, - fn(x)->f(x) pour presque tout x.
- il existe g dans L1(X,m) tel que |f(x)|<=g(x).


Continuité : Soit I un intervalle de R, et f : I×X->C. On suppose que :
- Pour presque tout x de X, la fonction t->f(t,x) est continue au point t0.
- Il existe une fonction g de L1(X,m) telle que |f(t,x)|<=g(x) pour tout t de I, pour presque tout x de X.

Dérivabilité : Soit I un intervalle de R, et f : I×X->C. On suppose que :
- Pour presque tout x de X, la fonction t->f(t,x) est dérivable sur I.
- Il existe une fonction g de L1(X,m) telle que, pour tout t de I, pour presque tout x de X,


Théorème : Soit (fn) une suite de fonctions mesurables positives. Alors :


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