Raisonnement par contraposée

Soit deux propriétés $P$ et $Q$. La contraposée de la proposition $P\implies Q$ est la proposition $(\textrm{non }Q)\implies (\textrm{non }P)$. Ces deux propositions, $P\implies Q$ et $(\textrm{non }Q)\implies (\textrm{non }P)$, sont équivalentes. Ainsi, si je souhaite prouver que $P$ implique $Q$, il suffit que je prouve que $(\textrm{non }Q)$ implique $(\textrm{non }P)$ : c'est le raisonnement par contraposée.

Voyons un exemple dans la vie de tous les jours. Considérons P := "Il pleut", et Q:="Je prends mon parapluie". Alors la proposition "il pleut donc je prends mon parapluie" est équivalente à la proposition "je ne prends pas mon parapluie donc il ne pleut pas".

Voici un exemple mathématique de raisonnement par contraposée. Supposons que nous voulions démontrer que si $n$ est un entier dont le carré $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. La contraposée de la proposition "$n^2$ pair$\implies$ $n$ pair" est la proposition "$n$ impair$\implies n^2$ impair". Il suffit donc de démontrer cette proposition. Mais si $n$ est impair, alors $n$ s'écrit $n=2k+1$ avec $k$ un entier. On a donc $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ qui est impair.