$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
\newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}
\newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n}
\newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}}
\newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)}
\newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th}
\DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}}
\newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]}
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
$$

Bibm@th
Matrice compagnon
Soit $P(X)=X^p+a_{p-1}X^{p-1}+\dots+a_0$ un polynôme de
$\mathbb K[X]$ de degré $p$. On appelle matrice compagnon (ou matrice partenaire)
de $P$ la matrice carré d'ordre $p$
$$C(P)=\left(
\begin{array}{ccccc}
0&\dots&\dots&0&-a_0\\
1&0&\ddots&\vdots&-a_1\\
0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0&-a_{p-2}\\
0&\dots&0&1&-a_{p-1}
\end{array}\right).$$
Ces deux objets sont associés car le polynôme caractéristique de $C(P)$ est exactement $P$.
Les matrices compagnons interviennent dans plusieurs aspects de la réduction
des endomorphismes :
- une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton y fait appel.
- dans l'étude des endomorphismes cycliques : si $u$ est un endomorphisme cyclique,
il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ soit égale à $C(P_u)$ où
$P_u$ est le polynôme caractéristique de $u$. A ce titre, les matrices
compagnons interviennent dans la réduction de Frobenius.
Consulter aussi...