$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@th
Matrice compagnon
Soit $P(X)=X^p+a_{p-1}X^{p-1}+\dots+a_0$ un polynôme de
$\mathbb K[X]$ de degré $p$. On appelle matrice compagnon (ou matrice partenaire)
de $P$ la matrice carré d'ordre $p$
$$C(P)=\left(
\begin{array}{ccccc}
0&\dots&\dots&0&-a_0\\
1&0&\ddots&\vdots&-a_1\\
0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0&-a_{p-2}\\
0&\dots&0&1&-a_{p-1}
\end{array}\right).$$
Ces deux objets sont associés car le polynôme caractéristique de $C(P)$ est exactement $P$.
Les matrices compagnons interviennent dans plusieurs aspects de la réduction
des endomorphismes :
- une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton y fait appel.
- dans l'étude des endomorphismes cycliques : si $u$ est un endomorphisme cyclique,
il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ soit égale à $C(P_u)$ où
$P_u$ est le polynôme caractéristique de $u$. A ce titre, les matrices
compagnons interviennent dans la réduction de Frobenius.
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