$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formule intégrale de Cauchy

La formule de Cauchy est une formule fondamentale en analyse complexe, qui permet de retrouver la valeur en un point d'une fonction holomorphe à partir de la moyenne de cette fonction sur un cercle qui entoure ce point.

  • Pour un disque : Soit $D$ un disque ouvert, de centre $a$, de rayon $R$, $F$ une fonction holomorphe dans $D$, et $0<r<R$. Alors on a $$F(a)=\frac1{2i\pi}\int_{\mathcal C(a,R)}\frac{F(z)}{z-a}dz=\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}F(a+re^{it})dt$$ où $\mathcal C(a,R)$ désigne le cercle de centre $a$ et de rayon $R.$
  • Pour un chemin général : Soit $U$ un ouvert étoilé (ou simplement connexe), $C$ un chemin tracé dans $U$, $F$ une fonction holomorphe dans $U$, $a\in U$ qui n'est pas sur $C$. Alors on a : $$F(a)\times \textrm{Ind}(a,C)=\frac{1}{2i\pi}\int_{C}\frac{F(z)}{z-a}dz.$$ $\textrm{Ind}(a,C)$ désigne l'indice de $a$ par rapport à $C$.
  • Pour les dérivées d'ordre supérieur : Soit $D$ un disque ouvert, de centre $a$, de rayon $R$, $F$ une fonction holomorphe dans $D$, $n\in\mathbb N$ et $0<r<R$. Alors on a $$F^{(n)}(a)=\frac{n!}{2i\pi}\int_{\mathcal C(a,R)}\frac{F(z)}{(z-a)^{n+1}}dz.$$
La formule de Cauchy pour un disque s'appelle aussi propriété de la moyenne (cf l'explication au début de l'article). Les fonctions qui vérifient cette propriété s'appellent les fonctions harmoniques.
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