$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Bosses glissantes

On construit une suite de fonctions $(f_n)_{n\geq 1}$ définies sur $[0,1]$ en plusieurs étapes :

  • à la première étape, on construit une seule fonction $f_1$, qui est identiquement égale à $1.$
  • à la deuxième étape, on coupe $[0,1]$ en $2,$ et on fabrique $2$ fonctions $f_2$ et $f_3$ : $f_2$ vaut $1$ sur $[0,1/2]$ et $0$ ailleurs, $f_3$ vaut $1$ sur $[1/2,1]$ et $0$ ailleurs.
  • à la troisième étape, on coupe $[0,1]$ en $4,$ et on construit $4$ fonctions $f_4$, $f_5$, $f_6$ et $f_7$. $f_4$ vaut $1$ sur $[0,1/4],$ et $0$ ailleurs, $f_5$ vaut $1$ sur $[1/4,1/2]$, et $0$ ailleurs, etc...
  • ainsi, à la $n$-ème étape, on construit $2^{n-1}$ fonctions, chacune valant $1$ sur un intervalle de taille $1/2^{n-1}$, et $0$ ailleurs.

La suite ainsi obtenue s'appelle suite des bosses glissantes. Elle est à l'origine de nombreux contre-exemples, comme celui-ci : $(f_n)$ converge en moyenne vers 0 (ce qui signifie que la suite des intégrales de $f_n$ tend vers 0), alors qu'elle ne converge simplement en aucun point.

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