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Birapport et projection centrale
Birapport
Le birapport ou rapport anharmonique de 4 points I,J,A,B, pris dans cet ordre, et situés sur un même axe orienté, est la quantité :
Il est noté [I,J,A,B]. Lorsque le
birapport [I,J,A,B] vaut -1, on dit que les 4 points forment une division harmonique, ou encore que I est conjugué de J par rapport à A,B.
Le rapport anharmonique de quatre droites concourantes est celui des quatre points d'intersection de ces droites par une sécante quelconque (c'est une quantité indépendante de la sécante!). Si le birapport vaut -1, on dit que les 4 droites forment un faisceau harmonique.
On peut encore définir le birapport de 4 points sur une conique : si A,B,C,D sont quatre points situés sur un même cercle, voire sur une même conique,
et si O est un point de cette conique, le birapport des 4 droites joignant O à A,B,C,D est indépendant du point O choisi; c'est ce birapport qu'on appelle birapport des 4 points A,B,C,D. Si le birapport des 4 points est égal à -1, on dit qu'ils forment un quadrangle harmonique.
Projection centrale
Etant donné un point S de l'espace, et un plan P ne contenant pas S, la projection centrale de sommet S
est la transformation qui, à tout point M autre que S, fait correspondre l'intersection de la droite (SM) et du plan P. Une projection centrale conserve le birapport de 4 points.
Construction du conjugué harmonique
Soient A,B,J alignés, on cherche à construire un point I tel que [I,J,A,B]=-1. Pour ce faire,
soit un point D du plan qui n'est pas sur la droite, et on construit les droites (AD) et (BD).
On considère une droite passant par J qui coupe (AD) en F et (BD) en G. Les droites (AG) et (BF)
se coupent alors en H. L'intersection de (DH) avec la droite (AB) est alors le point I cherché.
