Formule de Binet-Cauchy
La formule de Binet-Cauchy est une formule généralisant la propriété de multiplicativité du déterminant, $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ lorsque $A$ et $B$ sont deux matrices carrées, au produit de deux matrices rectangulaires.
- $\mathcal P_m(\{1,\dots,n\})$ désigne l'ensemble des parties de cardinal $m$ de $\{1,\dots,n\}$;
- $A_S$ est la matrice extraite de $A$ en ne prenant que les colonnes dont l'indice est dans $S$;
- $B_S$ est la matrice extraite de $B$ en ne prenant que les lignes dont l'indice est dans $S$;
Lorsque $A$ et $B$ sont les matrices $$A=\begin{pmatrix} a_1&\dots&a_n\\ b_1&\dots&b_n \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} c_1&d_1\\ c_2&d_2\\ \vdots&\vdots\\ c_n&d_n \end{pmatrix}$$ on trouve la formule suivante, connue sous le nom d'identité de Binet-Cauchy, et valable pour tous nombres complexes $a_i,b_i,c_i,d_i$, $i=1,\dots,n$ : $$\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right) =\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)+ \sum_{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}).$$ Lorsque $a_i=c_i$ et $b_j=d_j$ et $n=2$, on retrouve l'identité de Lagrange.