Inégalité de Bessel

Soit $E$ un espace préhilbertien dont le produit scalaire est noté $\langle\cdot,\cdot\rangle$. Soit $(e_n)_{n\geq 0}$ une famille orthonormale de $E$. Alors pour tout $x$ de $E$, la série $\sum_{n\geq 0}|\langle x,e_n\rangle|^2$ converge et on a l'inégalité de Bessel : $$\sum_{n\geq 0}|\langle x,e_n\rangle|^2\leq\|x\|^2.$$ De plus, la famille est totale (c'est-à-dire que l'espace vectoriel qu'elle engendre est dense), si et seulement si l'inégalité précédente est une égalité, alors nommée égalité de Parseval-Bessel : $$\sum_{n\geq 0}|\langle x,e_n\rangle|^2=\|x\|^2.$$

Le cas particulier le plus fréquent est celui où $E$ est l'espace vectoriel des fonctions continues sur l'intervalle $[0,2\pi]$, muni du produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\overline{g(t)}dt.$$ On prend pour famille $(e_n)$ les fonctions $e_n(x)=e^{inx}$, $n\in\mathbb Z$. Ceci est une famille orthonormée de $E$ qui de plus est totale d'après le théorème de Fejér. Ainsi, si on note $c_n(f)$ le $n$-ième coefficient de Fourier de $f$, $c_n(f)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt$, on a : $$\sum_{n\in\mathbb Z}|c_n(f)|^2=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(t)|^2 dt.$$

La preuve de l'inégalité de Bessel n'est pas difficile. On utilise le fait que la projection du vecteur $x$ sur l'espace vectoriel engendré par les $e_0,\dots,e_N$ a pour forme $$p(x)=\sum_{n=0}^N \langle x,e_n\rangle e_n.$$ Ensuite, le théorème de Pythagore dit que $$\|p(x)\|^2+\|x-p(x)\|^2=\|x\|^2.$$ On en déduit $$\sum_{n=0}^N |\langle x,e_n\rangle|^2=\|p(x)\|^2\leq \|x\|^2.$$