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Polynômes de Bernstein

Famille des polynômes de Bernstein
Définition : Pour $n\in\mathbb N$ et $0\leq k\leq n$, on appelle polynôme de Bernstein $B_k^n$ le polynôme $$B_k^n(t)=\binom nk t^k(1-t)^{n-k}.$$

Les polynômes de Bernstein possèdent les propriétés suivantes :

  • Le degré de $B_k^n$ est égal à $n$.
  • $\sum_{k=0}^n B_k^n(t)=1$ pour tout $t\in\mathbb R$.
  • $B_k^n$ est positif sur $[0,1]$ et si $n\neq 0$, $B_k^n$ ne s'annule qu'en 0 et en 1.
  • $B_k^n$ atteint son maximum sur $[0,1]$ en $k/n$.
  • $\left(B_k^n\right)'(t)=n\left(B_{k-1}^{n-1}(t)-B_k^{n-1}(t)\right)$.
  • $B_{k+1}^{n+1}(t)=(1-t) B_{k+1}^n (t)+tB_k^n(t)$.
Théorème : Pour tout $n\in\mathbb N$, les polynômes $(B_k^n)_{0\leq k\leq n}$ forment une base de $\mathbb R_n[X]$.

Polynômes de Bernstein associés à une fonction

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ à valeurs dans $\mathbb C$. Les polynômes de Bernstein associés à $f$ sont les polynômes : $$B_n(f)(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk f\left(\frac kn\right)x^k(1-x)^{n-k}.$$ La suite de polynômes $(B_n(f))$ est particulièrement importante en raison du théorème suivant :

Théorème : Soit $f:[0,1]\to\mathbb C$ continue. Alors la suite $(B_n(f))$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.

Ainsi, les polynômes de Bernstein permettent de démontrer le classique théorème de Weierstrass (toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de polynômes sur ce segment), et ils fournissent une formule explicite des polynômes d'approximation.

Voici une "explication" probabiliste de ce résultat. Soit $X_1,\dots,X_n$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes telles que : $$\left\{ \begin{array}{rcl} P(X_i=1)&=&x\\ P(X_i=0)&=&1-x \end{array} \right. $$ Autrement dit, on tire $n$ fois $0$ ou $1$, avec à chaque fois la probabilité $x$ d'obtenir $1$ et $1-x$ d'obtenir $0$. On pose ensuite : $$S_n=\frac{X_1+\dots+X_n}n.$$ $X_1+\dots+X_n$ compte le nombre de fois où on a tiré 1; par la loi des grands nombres, $S_n$ converge en probabilité vers $x$. Maintenant, des calculs classiques montrent que $S_n$ suit une loi binomiale, avec : $$P\left(S_n=\frac k n\right)=\binom nk x^k (1-x)^{n-k}.$$ On en déduit : \begin{eqnarray*} E\big(f(S_n)\big)&=&\sum_{k=0}^n \binom nkx^k (1-x)^{n-k}f\left(\frac kn\right)\\ &=&B_n(f)(x). \end{eqnarray*} En outre, puisque $S_n$ converge en probabilité vers $x$, il est "logique" de penser que $$E\big(f(S_n)\big)\to E\big(f(x)\big)=f(x).$$ Il suffit de rajouter des estimations à partir d'inégalités de Markov pour justifier correctement le résultat.

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