Barycentre
Soient $A_1,\dots,A_n$ $n$ points du plan, et $x_1,\dots,x_n$ $n$ nombres réels. On note $m=x_1+\cdots+x_n$ la masse totale du système, qu'on suppose non nulle. Alors il existe un unique point $G$ tel que : $$\sum_{i=1}^n x_i\overrightarrow{GA_i}=\overrightarrow{0}.$$
Ce point $G$ est appelé barycentre des points $A_1,\dots,A_n$ affectés des coefficients $x_1,\dots,x_n$. En outre, pour tout point $M$ du plan, on a : $$\overrightarrow{MG}=\frac 1m\sum_{i=1}^n x_i\overrightarrow{MA_i}.$$
Cette dernière relation permet, dans un repère, de calculer les coordonnées du point $G$ connaissant celles des $A_i$. Lorsque tous les coefficient $x_i$ sont égaux, on dit que le point $G$ est l'isobarycentre des points $A_1,\dots,A_n$. Pour deux points $A$ et $B$, l'isobarycentre est le milieu de $[AB]$. Pour 3 points non alignés $A,B,C$, l'isobarycentre est le centre de gravité du triangle $ABC$.
Une propriété fondamentale est l'associativité du barycentre. Supposons que $G$ soit le barycentre de $(A,1), (B,2), (C,3)$. Nous introduisons $I$ le barycentre de $(A,1)$ et $(B,2)$. Alors $G$ est le barycentre de $(I,3)$, $(C,3)$, autrement dit $G$ est le milieu de $[IC]$. On ne change donc pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d'entre eux par leur barycentre affecté de la somme non nulle des coefficients correspondants (ouf!)
.Les définitions et résultats précédents, énoncés dans le cadre du plan, se généralisent facilement à tout espace affine $E$.
- Il existe un unique point $G$, appelé \textbf{barycentre} du système de points pondérés $(A_i,a_i)_{i=1,\dots,n}$ , tel que $$\sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{GA_i}=\vec{0}.$$
- Pour tout point $O$ de $E$, on a $$\sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{OA_i}=\left(\sum_{i=1}^na_i\right)\overrightarrow{OG}.$$
Le théorème fondamental d'associativité du barycentre a alors l'énoncé suivant :
Autrement dit, si $G$ est le barycentre de $(A_1,a_1),\dots,(A_n,a_n)$ et si $H$ est le barycentre de $(A_1,a_1),\dots,(A_p,a_p)$ avec $p\leq n$, alors $G$ est le barycentre de $(H,a_1+\dots+a_p),(A_{p+1},a_{p+1}),\dots,(A_n,a_n)$.