Axiomes d'Euclide

Fondements -- Logique
Géométrie -- Géométries non euclidiennes

  La géométrie dans le plan vue par Euclide repose sur les 5 axiomes (aussi appelés postulats) suivants :
  1. il existe toujours une droite qui passe par deux points du plan.
  2. tout segment peut être étendu suivant sa direction en une droite (infinie).
  3. à partir d'un segment, il existe un cercle dont le centre est un des points du segment et dont le rayon est la longueur du segment.
  4. tous les angles droits sont égaux entre eux.
  5. étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une seule droite passant par ce point et parallèle à la première.
  Dans ses Eléments, Euclide prouvait ses 28 premières propositions à partir de seulement les 4 premiers axiomes, mais il était obligé d'invoquer le 5ème pour la 29è proposition. Ce cinquième postulat d'Euclide, aussi appelé postulat des parallèles a longtemps posé beaucoup de problèmes aux mathématiciens, qui ont cherché à le déduire des 4 autres premiers. Ce n'est qu'au XIXè siècle que Gauss le premier (découverte non publiée par lui), puis indépendamment Janos Bolyai et Nicolai Lobachevsky en 1823 se rendirent compte qu'on pouvait très bien considérer des modèles de la géométrie non-contradictoires dans lequel on ne faisait pas cette 5ème hypothèse. L'aventure des géométries non-euclidiennes pouvait commencer!

En fait, Euclide n'énonçait pas son 5ème postulat sous cette forme, mais sous la forme équivalente mais moins intuitive suivante : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits

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