$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Inégalité arithmético-géométrique

Si $a$ et $b$ sont deux réels positifs, alors on a $$\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}2.$$ Cette inégalité reflète le fait que la moyenne arithmétique est toujours plus grande que la moyenne géométrique. Elle se démontre très facilement en utilisant la concavité de la fonction logarithme. Plus généralement, si $a_1,\dots,a_n$ sont $n$ réels positifs, alors on a $$\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq \frac{a_1+\cdots+a_n}n$$ avec égalité si et seulement si $a_1=\cdots=a_n$. De plus, si les $a_i$ sont strictement positifs, on peut aussi minorer la moyenne géométrique par la moyenne harmonique : $$\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\geq \frac{n}{\frac 1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n}}.$$ Là encore, il y a égalité si et seulement si $a_1=\cdots=a_n$.

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