Fonction arcsinus
La fonction sinus réalise une bijection de l'intervalle $[-\pi/2,\pi/2]$ sur l'intervalle $[-1,1].$ Sa réciproque est appelée fonction arcsinus et est notée $\arcsin.$
La fonction $\arcsin$ est impaire. Elle est dérivable sur $]-1,1[$ et sa dérivée est donnée par, pour tout $x\in]-1,1[,$ $$(\arcsin)'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
Il faut faire attention au fait que la fonction $\arcsin$ est la réciproque de la restriction de $\sin$ à l'intervalle $[-\pi/2,\pi/2].$ Ainsi, si la relation $$\sin(\arcsin(x))=x$$ est vraie pour tout $x\in [-1,1]$, la relation $\arcsin(\sin(x))=x$ n'est vraie que si $x\in[-\pi/2,\pi/2].$ Par exemple, on a $$\arcsin(\sin(2\pi))=0\neq 2\pi.$$
La fonction $\arcsin$ vérifie de nombreuses relations. Par exemple, pour tout $x\in [-1,1],$ on a $$\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$$ $$\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac\pi2.$$