$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonction arcsinus

La fonction sinus réalise une bijection de l'intervalle $[-\pi/2,\pi/2]$ sur l'intervalle $[-1,1].$ Sa réciproque est appelée fonction arcsinus et est notée $\arcsin.$

La fonction $\arcsin$ est impaire. Elle est dérivable sur $]-1,1[$ et sa dérivée est donnée par, pour tout $x\in]-1,1[,$ $$(\arcsin)'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Il faut faire attention au fait que la fonction $\arcsin$ est la réciproque de la restriction de $\sin$ à l'intervalle $[-\pi/2,\pi/2].$ Ainsi, si la relation $$\sin(\arcsin(x))=x$$ est vraie pour tout $x\in [-1,1]$, la relation $\arcsin(\sin(x))=x$ n'est vraie que si $x\in[-\pi/2,\pi/2].$ Par exemple, on a $$\arcsin(\sin(2\pi))=0\neq 2\pi.$$

La fonction $\arcsin$ vérifie de nombreuses relations. Par exemple, pour tout $x\in [-1,1],$ on a $$\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$$ $$\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac\pi2.$$

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