Fonction arccosinus
La fonction cosinus réalise une bijection de l'intervalle $[0,\pi]$ sur l'intervalle $[-1,1].$ Sa fonction réciproque est appelée fonction arccosinus et est notée $\arccos.$
La fonction $\arccos$ est dérivable sur $]-1,1[$ et sa dérivée est donnée, pour tout $x\in]-1,1[,$ par $$(\arccos)'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
Il faut faire attention au fait que la fonction $\arccos$ est la réciproque de la restriction de $\cos$ à l'intervalle $[0,\pi].$ Ainsi, si la relation $$\cos(\arccos(x))=x$$ est vraie pour tout $x\in [-1,1]$, la relation $\arccos(\cos(x))=x$ n'est vraie que si $x\in[0,\pi].$ Par exemple, on a $$\arccos(\cos(2\pi))=0\neq 2\pi.$$
La fonction $\arccos$ vérifie de nombreuses relations. Par exemple, pour tout $x\in [-1,1],$ on a $$\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$$ $$\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac\pi2.$$