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Bibm@th

Applications linéaires

Nous considérons $E$ et $F$ deux espaces vectoriels. Une application linéaire $u$ de $E$ dans $F$ est une fonction de $E$ dans $F$ qui vérifie :

  1. Pour tous $x$ et $y$ de $E$, $u(x+y)=u(x)+u(y)$.
  2. Pour tout $x$ de $E$, et tout réel (complexe) $a$, $u(ax)=au(x)$.

Les applications linéaires sont les "bonnes applications" d'un espace vectoriel dans un autre, car ce sont celles qui conservent la structure d'espace vectoriel. Ainsi, si on définit

  • le noyau de $u$ par $\ker(u)=\{x\in E:\ u(x)=0\}$
  • l'image de $u$ par $\textrm{Im}(u)=u(E)=\{y\in F:\ \exists x\in E,\ y=u(x)\}$

alors le noyau est un sous-espace vectoriel de E, et l'image est un sous-espace vectoriel de F.

On appelle forme linéaire sur $E$ toute application linéaire de E dans $\mathbb R$ (ou dans $\mathbb C$ si $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb C$). Les noyaux des formes linéaires sont des sous-espaces vectoriels particuliers car maximaux : on les appelle hyperplans.