Angle

Deux demi-droites de même sommet $[Ax)$ et $[Ay)$ définissent deux régions dans le plan. Une seule des deux est convexe (c'est-à-dire que si $M$ et $N$ sont deux points de cette région, le segment $[MN]$ est entièrement contenu dans la région). On l'appelle angle des demi-droites $[Ax)$ et $[Ay),$ et on le note $\widehat{xAy}.$

L'origine commune des demi-droites s'appelle sommet de l'angle, et les deux demi-droites sont les côtés. Si $B$ est un point de $[Ax)$ et $C$ un point de $[Ay)$, différent de $A,$ on parle aussi d'angle $\widehat{BAC}.$

A chaque angle on associe une mesure de l'ouverture de l'angle (c'est-à-dire de l'écartement des deux demi-droites) de la façon suivante. On convient de partager tout cercle en un certain nombre de parties égales. Puis, pour mesurer un angle $\widehat{xAy},$ on trace un cercle autour de $A$ qui coupe $[Ax)$ en $B$ et $[Ay)$ en $C.$ L'arc $\stackrel{\frown}{BC}$ est une portion du cercle : elle vaut donc un certain nombre de fois les parties égales avec lesquelles on a partagé le cercle. Ce nombre de parties est la mesure de l'angle $\widehat{xAy}.$

L'unité de mesure d'angle la plus courante est le degré, noté °, hérité des babyloniens. Elle correspond au partage du cercle en 360 parties égales. Ainsi, un angle droit (dont les côtés sont perpendiculaires) va intersecter un quart de cercle, donc 360/4=90 de ces parties égales : la mesure d'un angle droit est donc de 90°. Il existe aussi d'autres unités de mesure d'angle, comme le radian (voir après) ou le grade.

On dit alors que deux angles sont égaux lorsqu'ils ont la même mesure.

On se place cette fois dans le plan muni d'un repère orthornormé et que l'on oriente, en général dans le sens trigonométrique (contraire au sens des aiguilles d'une montre). On cherche à définir l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$ défini par deux vecteurs, ou plutôt la mesure de cet angle orienté. Pour cela, soit $O$ le centre du repère, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ les vecteurs définis par $\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}$ et $\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{CD}}{\|\overrightarrow{CD}\|}.$ On place sur le cercle trigonométrique les points $U$ et $V$ définis par $\overrightarrow{OU}=\overrightarrow{u}$ et par $\overrightarrow{OV}=\overrightarrow{v}$ :

L'unité de mesure des angles orientés est donc le radian. Une seule des mesures d'un angle orienté est comprise dans l'intervalle $]-\pi,\pi]$ : on l'appelle mesure principale de l'angle orienté.

La définition précédente des angles orientés est bancale. En effet, on ne définit pas vraiment ce qu'est un angle orienté, mais plutôt la mesure d'un angle orienté. Pourtant, plus tard, on parle allègrement de rotation d'angle...

Dans les constructions rigoureuses de la géométrie, on suit le chemin inverse. On définit d'abord ce qu'est une rotation (vectorielle) dans le plan euclidien. C'est une isométrie directe (c'est-à-dire une isométrie dont le déterminant dans une base orthonormale directe est positif). Ensuite, si $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ et $(\overrightarrow{u'},\overrightarrow{v'})$ sont deux couples de vecteurs unitaires, on dit qu'ils sont équipollents s'il existe une rotation $r$ telle que $r(\overrightarrow{u})=\overrightarrow{u}$ et $r(\overrightarrow{v})=\overrightarrow{v}$ (cette rotation est alors nécessairement unique). La relation "être équipollent" est une relation d'équivalence sur l'ensemble des couples de vecteurs unitaires. Les classes d'équivalence pour cette relation sont les angles orientés de vecteurs unitaires. On note $(\widehat{\vec u,\vec v})$ pour représenter la classe de $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}),$ c'est-à-dire l'angle orienté défini par $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}.$

La mesure de l'angle $(\widehat{\vec u,\vec v})$ est alors associée de la façon suivante. Soit $r$ la rotation vectorielle qui transforme $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$. Il existe un unique $\theta\in ]-\pi,\pi]$ tel que, dans toute base orthonormée directe, la matrice de $r$ soit de la forme $$\begin{pmatrix} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \end{pmatrix}.$$ Ce réel $\theta$ s'appelle mesure principale de l'angle orienté $(\widehat{\vec u,\vec v}).$