Raisonnement par analyse-synthèse
Le raisonnement par analyse-synthèse est un type de raisonnement mathématique permettant de démontrer l'existence et l'unicité d'un objet vérifiant des propriétés données. Il se décompose en deux parties :
- l'analyse : on suppose que l'objet existe et on essaie de trouver des conditions nécessaires que doit vérifier cet objet. Ce faisant, on prouve que si l'objet existe, alors il est nécessairement égal à une certain objet $\mathcal O$ (ceci assure l'unicité).
- la synthèse : on considère l'objet $\mathcal O$ identifié dans la partie analyse, et on vérifie qu'il a bien les propriétés voulues (ceci assure l'existence).
Voici un exemple très classique de raisonnement par analyse-synthèse : on souhaite prouver que toute fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire $p$ et d'une fonction impaire $i$. A première vue, cela semble être un problème difficile, on ne voit vraiment par comment choisir $p$ et $i$ en fonction de $f$. On va traiter ce problème par analyse-synthèse.
Analyse : On suppose que $f=p+i$, où $p$ est paire et $i$ est impaire. Fixons $x$ dans $\mathbb R$ et calculons $f(-x)$ : $$f(-x)=p(-x)+i(-x)=p(x)-i(x)$$ puisque $p$ est paire et $i$ est impaire. Comme on a aussi $$f(x)=p(x)+i(x)$$ on a en effectuant la somme des deux équations $$p(x)=(f(x)+f(-x))/2$$ et, en effectuant la différence : $$i(x)=(f(x)-f(-x))/2.$$Ainsi, si $p$ et $i$ existent, ils s'écrivent nécessairement comme ci-dessus. Ceci montre l'unicité d'une décomposition, si elle existe, mais on n'a pas encore prouvé l'existence (d'ailleurs, notre raisonnement a commencé par "On suppose qu'une décomposition existe..."). Pour prouver l'existence, on doit encore faire la
Synthèse : Posons $$p(x)=(f(x)+f(-x))/2$$ et $$i(x)=(f(x)-f(-x))/2.$$ Alors :- $f=p+i$ : c'est évident.
- $p$ est paire : en effet, on a $$p(-x)=(f(-x)+f(x))/2=(f(x)+f(-x))/2=p(x).$$
- $i$ est impaire : en effet, on a $$i(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-(f(x)-f(-x))/2=-i(x).$$