Compactifié d'Alexandrov

Les espaces compacts sont très importants en analyse : ils se comportent pratiquement comme des ensembles finis! Si $X$ est un espace (topologique séparé) non compact, il est parfois utile de le plonger dans un espace un tout petit peu plus grand, qui lui est compact. Une des façons de procéder est la compactification d'Alexandrov.

On considère un symbole $\infty\notin X$ et l'ensemble $Y=X\cup\{\infty\}$. On munit $Y$ de la topologie suivante : les ouverts de $Y$ inclus dans $X$ sont les ouverts de $X$, et les ouverts de $Y$ contenant $\infty$ sont les complémentaires des compacts de $X$. Si $X$ est localement compact (c'est-à-dire si tout point de $X$ admet un voisinage compact), alors $Y$ est compact : c'est le compactifié d'Alexandrov de $X$.