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Point adhérent et adhérence


   Soient $E$ un espace métrique, $A$ une partie non vide de $E$, et $a$ un élément de $E$. On dit que le point $a$ est adhérent à $A$ dans $E$ si toute boule centrée en $a$ possède un point dans $A$. Avec des notations mathématiques :


  Il existe une caractérisation des points adhérents fort pratique.

Théorème : Soient $E$ un espace métrique, $A$ une partie de $E$ et $a$ un élément de $E$. Alors $a$ est adhérent à $A$ si, et seulement si, il existe une suite $(u_n)$ de points de $A$ qui converge vers $a$.

  L'adhérence d'un ensemble $A$ est l'ensemble des points adhérents à $A$. On peut aussi la définir (c'est équivalent) comme le plus petit fermé contenant $A$. Classiquement, l'adhérence de A est notée $\bar A$.

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