Point d'accumulation
Soit $E$ un espace topologique, $A$ une partie non vide de $E$, et $a\in E$. On dit que le point $a$ est un point d'accumulation de $A$ s'il est adhérent à $A$ sans être isolé dans $A$, autrement dit, si $a$ est un point d'adhérence de $A\backslash \{a\}$.
Exemple : Pour $A=\{-1\}\cup[0,1[$, $1$ est un point d'accumulation, mais $-1$ ne l'est pas.
Dans le cas des espaces métriques, ou des espaces vectoriels normés, on dispose d'une description plus "parlante" des points d'accumulation :
Théorème : Soient $E$ un espace métrique, $A$ une partie de $E$ et $a$ un élément de $E$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
- $a$ est point d'accumulation de $A$
- il existe une suite injective de points de $A$ convergeant vers $a$.
- tout voisinage de $a$ contient une infinité de points de $A$.
En particulier, l'ensemble des points d'accumulation de $A$ est un fermé qu'on appelle ensemble dérivé de $A.$ On le note $A'.$
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