Méthode de la puissance itérée - méthode de déflation

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Analyse -- Analyse numérique

  La méthode de la puissance est un algorithme permettant de calculer (plutôt, d'estimer) la valeur propre de plus grand module et un vecteur propre associé d'une matrice A. L'idée est que, si on définit une suite (xn) de vecteurs de Rn par la relation xn+1=Axn, alors la suite (xn) va se tourner vers la direction du vecteur propre. Précisément, on a le théorème suivant :
Théorème :Soit A une matrice, ses valeurs propres, et on suppose que . Soit aussi un vecteur propre associé à . Alors, si x0 est un vecteur non orthogonal à , et si (xn) est définie par la relation de récurrence xn+1=Axn, alors :
  Pour éviter que l'algorithme ne provoque un dépassement de capacité, on calcule souvent directement une version normalisée de xn. Remarquons aussi que l'hypothèse sur x0 n'est pas discriminante, si on choisit le vecteur au hasard, il n'a aucune chance d'être orthogonal à .

  L'intérêt de la méthode des puissances itérées est de ne pas nécessiter d'hypothèses très particulières sur la matrice, comme être symétrique. En revanche, elle demande une configuration particulière des valeurs propres qui n'est pas toujours vérifiée. De plus, elle ne permet de calculer qu'une seule des valeurs propres de A. Pour trouver les autres valeurs propres, on a besoin de la ...
Méthode de déflation
  La méthode de déflation est une méthode, connaissant la valeur propre de plus grand module d'une matrice et un vecteur propre associé, de trouver la seconde valeur propre dont le module est le plus grand. Précisément, on part d'une matrice A d'ordre n dont les valeurs propres vérifient . On suppose aussi dans un premier temps que la matrice A est symétrique. La méthode de la puissance nous donne la plus grande valeur propre en module, , et un vecteur propre associé, . On pose alors
Alors B possède pour valeurs propres ... et 0! Il suffit d'appliquer à nouveau la méthode de la puissance, mais à B, pour obtenir une valeur approchée de , et un vecteur propre associé. On peut ainsi recommencer l'application du couple puissances itérées/déflation pour trouver toutes les valeurs propres de A.

  Lorsque la matrice A n'est plus symétrique, la matrice B donnée ci-dessus n'a plus de raison d'avoir et 0 pour vecteurs propres (car les vecteurs propres de A n'ont plus de raison d'être orthogonaux). Il faut raisonner un peu différent, en utilisant la transposée de A. En effet, A et tA ont les mêmes valeurs propres, et si on applique la méthode de la puissance itérée à tA, on trouve un vecteur propre w1 de tA associé à . On pose cette fois
qui vérifie les mêmes propriétés que la matrice B précédente.
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